Problemes 17.1 i 17.2

17.1 Doblegar un full

Si agafes un full i el doblegues per la meitat, obtindràs dos rectangles iguals superposats, i cadascun d’ells tindrà una àrea la meitat de l’anterior. Si tornes a doblegar-lo, obtindràs quatre rectangles…

Completa la taula següent:
Vegades que doblegues (n) 0 1 2 3 4 … n
Nombre de rectangles (r) 1 2 4 8 16 a sub 1 x 2^n-1
Àrea de cada rectangle 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 a sub 1 x 0,5^n-1

.Suposem que ets capaç de seguir doblegant, fins a fer-ho 50 vegades, quant mesurarà el muntonet de paper que s’hi ha format? Primer dóna una estimació, després fes-ne el càlcul(un full pot tindre un gruix de 0,1 mm).

Jo pense que donarà 4 cm i poc, però al fer el càlcul: Com que és una progressió geomètrica de raó 2, seria: a sub 1 x 2^n-1= 1x2^49= 5,629499534x10^14 i això, com que un full té de gruix 0,1mm, hem de multiplicar-lo per 0,1, que dona=5,629499534x10^13, i això serà el gruix del montonet si el dobleguem 50 vegades.

.Quina serà l’àrea de cada rectangle si poguérem haver realitzat aquest procés?
Com que, en aquest cas, es tracta també d’una progressió geomètrica de raó 0’5, hem de fer: a sub 1 x 0.5^n-1 = 1x0.5^49=1.776356839x10^-15 seria l’àrea de cada rectangle.

17.2 Doblegar una cartolina

Un rectangle de cartolina té 1 mm de gruix i es doblega per la meitat successivament 20 vegades. Quin serà el gruix del paquet format? Si la cartolina té un gruix de 0.5 mm, quantes vegades hauríem de doblegar per a obtenir un paquet de la mateixa mida que l’anterior?

Com que és un progressió geomètrica de raó 2= a sub 1 x 2^n-1= 1x2^19= 524288 mm de gruix. Però si la cartolina tingués 0.5 mm de gruix, per a fer un paquet de la mateixa mida hem de tenir el doble de rectangles, és a dir, 1048576=(524288x2) rectangles i, com que e¡hem de tenir el doble de rectangles, hem de doblegar 21 vegades, això vol dir 2^20= 1048576.