Plecs

7.Investigació: plecs
Agafa un full i doblega'l per la meitat; després una altra vegada per la meitat sobre la línea de doblegament.
Tallem per un cantó que es correspon amb el centre del full com el que veus en la figura:
.Imagina el polígon que s'hi obtindrà.
Investiga, imaginant primer el resultat i després tallant, què ocorrerà quan hi fem altres talls.
.Tenen alguna cosa en comú totes les figures que s'obtenen quan hi fem talls?

El poligon que obtenim després, al obrir el full, és una ampliació del poligon que hem fet al fer els talls al quadrat.
Totes les figures estan formades per simetria.

Problema 8.5

Siga AB l'alçària d'un arbre la copa del qual és inaccessible. Un explorador col·loca un espill E sore el sòl i s'allunya d'ell fins a un punt C. Situat de peu en aquest punt és possible observar a través de l'espill la copa de l'arbre. Si DC=1.7 m, CE= 3m i EB=12. Quina alçària té l'arbre?
EB/CE=AB/CD, es a dir, 12/3=AB/1,7
4=AB/1.7
1.7x4= 6.8
L'arbre mesura 6.8 metres.

Exercicis geometria de l'espai i cossos geomètrics. Problema 4

He pujat aquest problema perquè no m'ha paregut massa fàcil ni massa sencill i el comprenc molt bé.

Problema 4: Calcula el volum d'un edifici format per un ortoedre de dimensions 10x10x6 metres i una piràmide quadrangular d'altura 9m.

Volum ortoedre= altura x profunditat x ample = 10x10x6 = 600m cúbics.
Suposant que els costats de la base del ortoedre són els mateixos que els de la base de la piràmide quatrangular, el costat de la base cuadrada de la piràmide seria 10.
Volum piràmide= (sup. base x altura):3= (100x9):3= 300metres cúbics.
Els dos volums junts= 300 + 600= V.ordoedre + V.piràmide= 900 metres cúbics.

Problemes 29.1 i 29.2 de la pàgina 51

29. SOBRE L'AIGUA

Preocupats pel consum exessiu d'aigua en la nostra ciutat, hem decidit esbrinar-hi alguna cosa més. En una enciclopèdia llegim la informació següent:

“L'Oceà Atlàntic té una superficie de 82km cuadrats, amb una profunditat mitjana de 3.600 m, representant un 24% del total de superfície oceànica. Molt més extens és l'Oceà Pacífic, amb 166 milions de km cuadrats i una profunditat mitjana de 4.280 m.”

. Quina superficie n'ocupa la resta d'oceans i mars?

Primer hem de calcular l'1 % que és:

8.2x10^7 = 24% del total
(8.2x10^7) : 24= 1% de total = 3416666'667 km cuadrats i això per 100 és igual al 100% del total =341666666'7 km cuadrats
8.2x10^7+1.66x10^8=els km2 que tenen els oceans Pacífic i Atlàntic = 248000000 km2
341666666'7-248000000= 93666666'7 km2 ocupen la resta de la resta d'oceans i mars de la Terra.

. Si tota l'aigua dels oceans Atlàntic i Pacífic la poguérem posar un forma de cub, quina seria la seua aresta?

Hem de sumar els dos volums i calcular l'arrel cúbica de aquesta suma. Per calcular els dos volums:

Volum de l'Oceà Atlàntic= 82x10^6x36(km)= 2952000000 km3
Volum de l'Oceà Pacífic= 166x10^6x4.28(km)=710480000 km3
el sumem: 2952000000 + 710480000 = 1006980000 km3 tenen es dos oceans.

Per calcular l'aresta: arrel cúbica de la suma= 1002.321274 km té l'aresta.

29.2 Aigua per a beure

No solem beure, però, l'aigua del mar. En una altra publicació podem llegir:

“La quantitat d'aigua dolça que hi ha a la Terra és la següent : en forma de gel, 23.674.000 km3, 500.000 en forma líquida i 14.200 com a vapor d'aigua en l'atmosfera”

. Quin percentatge del total d'aigua dolça es troba en cada estat? Si es poguera posar en un cub, quina seria l'aresta del cub en cadascun dels tres gasos?

23.674.000 + 500.000+14.200= km3 d'aigua dolça a la Terra= 24188200 km3 d'aigua dolça

% d'aigua en forma de gel: (23.674.000 : 24188200) x 100= 97,87%
% d'aigua en forma líquida: (500.000 : 24188200) x 100=2.07%
% d'aigua en forma de vapor: (14.200 : 24188200) x 100= 0.06%

per a calcular l'aresta de cada cub, sols hem de fer l'arrel cúbica de cadascun:

aresta d'aigua en forma de gel: arrel cúbica de 23.674.000= 287,138 km
aresta d'aigua en forma líquida: arrel cúbica de 500.000 = 79.39 km
aresta d'aigua en forma de vapor: arrel cúbica de 14.200= 24.216 km

.També llegim que l'aigua dolça només representa un 1,6% del total d'aigua de la Terra. Quina és la quantitat total d'aigua que hi ha en la Terra?

14.200=1,6%
24188200 :1,6= 15117625
155117625 x 100= 1511762500 km3 és el total d'aigua que hi ha a la Terra.

Problemes 17.1 i 17.2

17.1 Doblegar un full

Si agafes un full i el doblegues per la meitat, obtindràs dos rectangles iguals superposats, i cadascun d’ells tindrà una àrea la meitat de l’anterior. Si tornes a doblegar-lo, obtindràs quatre rectangles…

Completa la taula següent:
Vegades que doblegues (n) 0 1 2 3 4 … n
Nombre de rectangles (r) 1 2 4 8 16 a sub 1 x 2^n-1
Àrea de cada rectangle 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 a sub 1 x 0,5^n-1

.Suposem que ets capaç de seguir doblegant, fins a fer-ho 50 vegades, quant mesurarà el muntonet de paper que s’hi ha format? Primer dóna una estimació, després fes-ne el càlcul(un full pot tindre un gruix de 0,1 mm).

Jo pense que donarà 4 cm i poc, però al fer el càlcul: Com que és una progressió geomètrica de raó 2, seria: a sub 1 x 2^n-1= 1x2^49= 5,629499534x10^14 i això, com que un full té de gruix 0,1mm, hem de multiplicar-lo per 0,1, que dona=5,629499534x10^13, i això serà el gruix del montonet si el dobleguem 50 vegades.

.Quina serà l’àrea de cada rectangle si poguérem haver realitzat aquest procés?
Com que, en aquest cas, es tracta també d’una progressió geomètrica de raó 0’5, hem de fer: a sub 1 x 0.5^n-1 = 1x0.5^49=1.776356839x10^-15 seria l’àrea de cada rectangle.

17.2 Doblegar una cartolina

Un rectangle de cartolina té 1 mm de gruix i es doblega per la meitat successivament 20 vegades. Quin serà el gruix del paquet format? Si la cartolina té un gruix de 0.5 mm, quantes vegades hauríem de doblegar per a obtenir un paquet de la mateixa mida que l’anterior?

Com que és un progressió geomètrica de raó 2= a sub 1 x 2^n-1= 1x2^19= 524288 mm de gruix. Però si la cartolina tingués 0.5 mm de gruix, per a fer un paquet de la mateixa mida hem de tenir el doble de rectangles, és a dir, 1048576=(524288x2) rectangles i, com que e¡hem de tenir el doble de rectangles, hem de doblegar 21 vegades, això vol dir 2^20= 1048576.

Succesió de Fibonacci

Succesió de Fibonacci:

La successió de Fibonacci és la següent successió infinita de nombres naturals:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…

Aquesta succesió s’inicia amb 0 i 1 y a partir d’ahí es continua amb la suma dels dos nombres anteriors.

Abans de que Fibonacci escriguera el seu treball, aquesta successió ja va ser empleada per alguns matemàtics indis.

També va ser usada com a solució del problema de la cria de conills: Un home tenia una parella de conills i volia saber quantes cries i tindrien aquests conills en un mes, si el normal era que una parella de conills (després de haver passat un mes de vida, que es la edat amb la que poden començar a engendrar) tinguera dos cries per mes (un xic i una xica), i el segon mes, els nascuts tenir també dos cries.

És a dir, serveix per calcular quants conills tindrà una parella en un mes si aquests es reprodueixen contínuament.

La fórmula escrita de la successió de Fibonacci seria:

A(sub n) = A(sub n-1) + A(sub n -2)
En la naturalesa:

En la successió ramificada dels arbres trobàrem també aquesta successió, en els punts del tall en el que es posen les fulles y les rames…

Però també n’hi ha una cosa curiosa en aquesta successió, la majoria de les flors tenen 3,5, 8, 13, 21, 34, 55 o 89 pètals.

També les fulles de les plantes que fan falta per donar una volta sencera al tall d’una planta segueixen nombres de Fibonacci (3, 5, 8, 13…)

També es curiós que els mascles d'un rusc d'abelles tenen un arbre genealògic que compleix amb esta successió. El fet és que els ganduls, el mascle de l'abella, no té pare (1), però sí que té una mare (1, 1), dos iaios, que són els pares de la reina (1, 1, 2), tres bes iaios, ja que el pare de la reina no té pare (1, 1, 2, 3), cinc rebesiaios(1,1,2,3,5) y així successivament complint amb la successió de Fibonacci.

Criptografia

Pascual ens ha demanat que pujem al blog una petita informació sobre la criptogafia i que fem un problema del llibre relacionat amb açò, jo he buscat la seua definició, un codi molt famòs, el de Cèsar, i he fet el problema 4.4. Ací teniu el meu treball:

Criptografia:

La criotografia és la forma de convertir una informació cap a un codi que siga impossible de llegir menys per als que coneguen aquesta tècnica.
N’hi ha molts tipus de codis però jo vaig a parlar del Codi Cèsar:
El codi de Cèsar és una de le tècniques de xifratge més senzilles i més conegudes. És un tipus de xifratge per substitució en el qual cada lletra del se substitueix per una altra lletra que estigui un determinat nombre de posicions desplaçada a l'alfabet.
Per exemple, si vull xifrar un missatge en clau 4, (és a dir: A és E, B és F, C és G...) seria:
Matemàtiques= QEXIQEXMUIW (M=Q, A=E, T=X...)
Si volem fer-ho en clau 8 tindríem que desplaçar o substituir cada lletra del missatge que volem xifrar per una altra que estigué 8 posicions més endavant.
Aquesta seria la criptografia de Cèsar en clau 3:

Problema 4.4 pàgina 19:
Codis de transposició:
Un codi és de transposició si canvia l’odre de les lletres del missatge original. Vegem un exemple senzill.
Per a codificar per transposició de clau 4 el missatge QUEDEM EN EIXIR DE CLASSE PER ANAR A PASSEJAR, hem d’escriure el text en columnas (verticalment) amb 4 files (les lletres del final són per a completar)
1 Q E E R L E A A S R
2 U M I D A P N P E T
3 E E X E S E A A J A
4 D N I C S R R S A R

Es llegiria: QEERLEAASRUMIDAPNPETEEXESEAAJADNICSRRSAR

.Escriu les instruccions necessàries per a desxifrar el missatge.
Primer comptes el nombre de caràcter que té el missatge que vols xifrar, després busques un nombre que siga divisor del nombre de caràcters que té el missatge ja que han de cabre a les columnes i que no sobre cap (per exemple, si el missatge que vols xifrar té 24 lletres ho pots fer en clau 4 en clau 2 en clau 6… ja que són divisors de 24 i cap lletra es quedaría fora).
Després has de posar el missatge en columnes i a cada columna ha d’haver el nombre de caràcters corresponent amb el nombre de la clau. Per exemple, si vols xifrar el missatge en clau 3, a cada columna ha d’haver 3 lletres posades verticalment sense comptar els espais que hi ha entre cada paraula.
Després per a vore com seria el teu missatge xifrat sols has de llegir les lletres en horitzontal de filera en filera i anotar-lo.
Si algú coneix aquesta codificació per transposició sols has de dir-li la clau per a que puga desxifrar el teu missatge.
Per exemple:
Vull xifrar el missatge: JO ESTIC MOLT FELIÇ, i com que té 16 caràcters el vaig a fer en clau 8 (però el podria fer en clau 2, 4…).
Aquest missatge seria:

1 J O
2 O L
3 E T
4 S F
5 T E
6 I L
7 C I
8 M Ç

El meu missatge xifrat en clau 8 seria: JOOLETSFTEILCIMÇ