29. SOBRE L'AIGUA
Preocupats pel consum exessiu d'aigua en la nostra ciutat, hem decidit esbrinar-hi alguna cosa més. En una enciclopèdia llegim la informació següent:
“L'Oceà Atlàntic té una superficie de 82km cuadrats, amb una profunditat mitjana de 3.600 m, representant un 24% del total de superfície oceànica. Molt més extens és l'Oceà Pacífic, amb 166 milions de km cuadrats i una profunditat mitjana de 4.280 m.”
. Quina superficie n'ocupa la resta d'oceans i mars?
Primer hem de calcular l'1 % que és:
8.2x10^7 = 24% del total
(8.2x10^7) : 24= 1% de total = 3416666'667 km cuadrats i això per 100 és igual al 100% del total =341666666'7 km cuadrats
8.2x10^7+1.66x10^8=els km2 que tenen els oceans Pacífic i Atlàntic = 248000000 km2
341666666'7-248000000= 93666666'7 km2 ocupen la resta de la resta d'oceans i mars de la Terra.
. Si tota l'aigua dels oceans Atlàntic i Pacífic la poguérem posar un forma de cub, quina seria la seua aresta?
Hem de sumar els dos volums i calcular l'arrel cúbica de aquesta suma. Per calcular els dos volums:
Volum de l'Oceà Atlàntic= 82x10^6x36(km)= 2952000000 km3
Volum de l'Oceà Pacífic= 166x10^6x4.28(km)=710480000 km3
el sumem: 2952000000 + 710480000 = 1006980000 km3 tenen es dos oceans.
Per calcular l'aresta: arrel cúbica de la suma= 1002.321274 km té l'aresta.
29.2 Aigua per a beure
No solem beure, però, l'aigua del mar. En una altra publicació podem llegir:
“La quantitat d'aigua dolça que hi ha a la Terra és la següent : en forma de gel, 23.674.000 km3, 500.000 en forma líquida i 14.200 com a vapor d'aigua en l'atmosfera”
. Quin percentatge del total d'aigua dolça es troba en cada estat? Si es poguera posar en un cub, quina seria l'aresta del cub en cadascun dels tres gasos?
23.674.000 + 500.000+14.200= km3 d'aigua dolça a la Terra= 24188200 km3 d'aigua dolça
% d'aigua en forma de gel: (23.674.000 : 24188200) x 100= 97,87%
% d'aigua en forma líquida: (500.000 : 24188200) x 100=2.07%
% d'aigua en forma de vapor: (14.200 : 24188200) x 100= 0.06%
per a calcular l'aresta de cada cub, sols hem de fer l'arrel cúbica de cadascun:
aresta d'aigua en forma de gel: arrel cúbica de 23.674.000= 287,138 km
aresta d'aigua en forma líquida: arrel cúbica de 500.000 = 79.39 km
aresta d'aigua en forma de vapor: arrel cúbica de 14.200= 24.216 km
.També llegim que l'aigua dolça només representa un 1,6% del total d'aigua de la Terra. Quina és la quantitat total d'aigua que hi ha en la Terra?
14.200=1,6%
24188200 :1,6= 15117625
155117625 x 100= 1511762500 km3 és el total d'aigua que hi ha a la Terra.
domingo, 27 de noviembre de 2011
domingo, 20 de noviembre de 2011
Problemes 17.1 i 17.2
17.1 Doblegar un full
Si agafes un full i el doblegues per la meitat, obtindràs dos rectangles iguals superposats, i cadascun d’ells tindrà una àrea la meitat de l’anterior. Si tornes a doblegar-lo, obtindràs quatre rectangles…
Completa la taula següent:
Vegades que doblegues (n) 0 1 2 3 4 … n
Nombre de rectangles (r) 1 2 4 8 16 a sub 1 x 2^n-1
Àrea de cada rectangle 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 a sub 1 x 0,5^n-1
.Suposem que ets capaç de seguir doblegant, fins a fer-ho 50 vegades, quant mesurarà el muntonet de paper que s’hi ha format? Primer dóna una estimació, després fes-ne el càlcul(un full pot tindre un gruix de 0,1 mm).
Jo pense que donarà 4 cm i poc, però al fer el càlcul: Com que és una progressió geomètrica de raó 2, seria: a sub 1 x 2^n-1= 1x2^49= 5,629499534x10^14 i això, com que un full té de gruix 0,1mm, hem de multiplicar-lo per 0,1, que dona=5,629499534x10^13, i això serà el gruix del montonet si el dobleguem 50 vegades.
.Quina serà l’àrea de cada rectangle si poguérem haver realitzat aquest procés?
Com que, en aquest cas, es tracta també d’una progressió geomètrica de raó 0’5, hem de fer: a sub 1 x 0.5^n-1 = 1x0.5^49=1.776356839x10^-15 seria l’àrea de cada rectangle.
17.2 Doblegar una cartolina
Un rectangle de cartolina té 1 mm de gruix i es doblega per la meitat successivament 20 vegades. Quin serà el gruix del paquet format? Si la cartolina té un gruix de 0.5 mm, quantes vegades hauríem de doblegar per a obtenir un paquet de la mateixa mida que l’anterior?
Com que és un progressió geomètrica de raó 2= a sub 1 x 2^n-1= 1x2^19= 524288 mm de gruix. Però si la cartolina tingués 0.5 mm de gruix, per a fer un paquet de la mateixa mida hem de tenir el doble de rectangles, és a dir, 1048576=(524288x2) rectangles i, com que e¡hem de tenir el doble de rectangles, hem de doblegar 21 vegades, això vol dir 2^20= 1048576.
Si agafes un full i el doblegues per la meitat, obtindràs dos rectangles iguals superposats, i cadascun d’ells tindrà una àrea la meitat de l’anterior. Si tornes a doblegar-lo, obtindràs quatre rectangles…
Completa la taula següent:
Vegades que doblegues (n) 0 1 2 3 4 … n
Nombre de rectangles (r) 1 2 4 8 16 a sub 1 x 2^n-1
Àrea de cada rectangle 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 a sub 1 x 0,5^n-1
.Suposem que ets capaç de seguir doblegant, fins a fer-ho 50 vegades, quant mesurarà el muntonet de paper que s’hi ha format? Primer dóna una estimació, després fes-ne el càlcul(un full pot tindre un gruix de 0,1 mm).
Jo pense que donarà 4 cm i poc, però al fer el càlcul: Com que és una progressió geomètrica de raó 2, seria: a sub 1 x 2^n-1= 1x2^49= 5,629499534x10^14 i això, com que un full té de gruix 0,1mm, hem de multiplicar-lo per 0,1, que dona=5,629499534x10^13, i això serà el gruix del montonet si el dobleguem 50 vegades.
.Quina serà l’àrea de cada rectangle si poguérem haver realitzat aquest procés?
Com que, en aquest cas, es tracta també d’una progressió geomètrica de raó 0’5, hem de fer: a sub 1 x 0.5^n-1 = 1x0.5^49=1.776356839x10^-15 seria l’àrea de cada rectangle.
17.2 Doblegar una cartolina
Un rectangle de cartolina té 1 mm de gruix i es doblega per la meitat successivament 20 vegades. Quin serà el gruix del paquet format? Si la cartolina té un gruix de 0.5 mm, quantes vegades hauríem de doblegar per a obtenir un paquet de la mateixa mida que l’anterior?
Com que és un progressió geomètrica de raó 2= a sub 1 x 2^n-1= 1x2^19= 524288 mm de gruix. Però si la cartolina tingués 0.5 mm de gruix, per a fer un paquet de la mateixa mida hem de tenir el doble de rectangles, és a dir, 1048576=(524288x2) rectangles i, com que e¡hem de tenir el doble de rectangles, hem de doblegar 21 vegades, això vol dir 2^20= 1048576.
viernes, 21 de octubre de 2011
Succesió de Fibonacci
Succesió de Fibonacci:
La successió de Fibonacci és la següent successió infinita de nombres naturals:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…
Aquesta succesió s’inicia amb 0 i 1 y a partir d’ahí es continua amb la suma dels dos nombres anteriors.
Abans de que Fibonacci escriguera el seu treball, aquesta successió ja va ser empleada per alguns matemàtics indis.
També va ser usada com a solució del problema de la cria de conills: Un home tenia una parella de conills i volia saber quantes cries i tindrien aquests conills en un mes, si el normal era que una parella de conills (després de haver passat un mes de vida, que es la edat amb la que poden començar a engendrar) tinguera dos cries per mes (un xic i una xica), i el segon mes, els nascuts tenir també dos cries.
És a dir, serveix per calcular quants conills tindrà una parella en un mes si aquests es reprodueixen contínuament.
La fórmula escrita de la successió de Fibonacci seria:
A(sub n) = A(sub n-1) + A(sub n -2)
En la naturalesa:
En la successió ramificada dels arbres trobàrem també aquesta successió, en els punts del tall en el que es posen les fulles y les rames…
Però també n’hi ha una cosa curiosa en aquesta successió, la majoria de les flors tenen 3,5, 8, 13, 21, 34, 55 o 89 pètals.
També les fulles de les plantes que fan falta per donar una volta sencera al tall d’una planta segueixen nombres de Fibonacci (3, 5, 8, 13…)
També es curiós que els mascles d'un rusc d'abelles tenen un arbre genealògic que compleix amb esta successió. El fet és que els ganduls, el mascle de l'abella, no té pare (1), però sí que té una mare (1, 1), dos iaios, que són els pares de la reina (1, 1, 2), tres bes iaios, ja que el pare de la reina no té pare (1, 1, 2, 3), cinc rebesiaios(1,1,2,3,5) y així successivament complint amb la successió de Fibonacci.
La successió de Fibonacci és la següent successió infinita de nombres naturals:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…
Aquesta succesió s’inicia amb 0 i 1 y a partir d’ahí es continua amb la suma dels dos nombres anteriors.
Abans de que Fibonacci escriguera el seu treball, aquesta successió ja va ser empleada per alguns matemàtics indis.
També va ser usada com a solució del problema de la cria de conills: Un home tenia una parella de conills i volia saber quantes cries i tindrien aquests conills en un mes, si el normal era que una parella de conills (després de haver passat un mes de vida, que es la edat amb la que poden començar a engendrar) tinguera dos cries per mes (un xic i una xica), i el segon mes, els nascuts tenir també dos cries.
És a dir, serveix per calcular quants conills tindrà una parella en un mes si aquests es reprodueixen contínuament.
La fórmula escrita de la successió de Fibonacci seria:
A(sub n) = A(sub n-1) + A(sub n -2)
En la naturalesa:
En la successió ramificada dels arbres trobàrem també aquesta successió, en els punts del tall en el que es posen les fulles y les rames…
Però també n’hi ha una cosa curiosa en aquesta successió, la majoria de les flors tenen 3,5, 8, 13, 21, 34, 55 o 89 pètals.
També les fulles de les plantes que fan falta per donar una volta sencera al tall d’una planta segueixen nombres de Fibonacci (3, 5, 8, 13…)
També es curiós que els mascles d'un rusc d'abelles tenen un arbre genealògic que compleix amb esta successió. El fet és que els ganduls, el mascle de l'abella, no té pare (1), però sí que té una mare (1, 1), dos iaios, que són els pares de la reina (1, 1, 2), tres bes iaios, ja que el pare de la reina no té pare (1, 1, 2, 3), cinc rebesiaios(1,1,2,3,5) y així successivament complint amb la successió de Fibonacci.
viernes, 14 de octubre de 2011
Criptografia
Pascual ens ha demanat que pujem al blog una petita informació sobre la criptogafia i que fem un problema del llibre relacionat amb açò, jo he buscat la seua definició, un codi molt famòs, el de Cèsar, i he fet el problema 4.4. Ací teniu el meu treball:
Criptografia:
La criotografia és la forma de convertir una informació cap a un codi que siga impossible de llegir menys per als que coneguen aquesta tècnica.
N’hi ha molts tipus de codis però jo vaig a parlar del Codi Cèsar:
El codi de Cèsar és una de le tècniques de xifratge més senzilles i més conegudes. És un tipus de xifratge per substitució en el qual cada lletra del se substitueix per una altra lletra que estigui un determinat nombre de posicions desplaçada a l'alfabet.
Per exemple, si vull xifrar un missatge en clau 4, (és a dir: A és E, B és F, C és G...) seria:
Matemàtiques= QEXIQEXMUIW (M=Q, A=E, T=X...)
Si volem fer-ho en clau 8 tindríem que desplaçar o substituir cada lletra del missatge que volem xifrar per una altra que estigué 8 posicions més endavant.
Aquesta seria la criptografia de Cèsar en clau 3:
Problema 4.4 pàgina 19:
Codis de transposició:
Un codi és de transposició si canvia l’odre de les lletres del missatge original. Vegem un exemple senzill.
Per a codificar per transposició de clau 4 el missatge QUEDEM EN EIXIR DE CLASSE PER ANAR A PASSEJAR, hem d’escriure el text en columnas (verticalment) amb 4 files (les lletres del final són per a completar)
1 Q E E R L E A A S R
2 U M I D A P N P E T
3 E E X E S E A A J A
4 D N I C S R R S A R
Es llegiria: QEERLEAASRUMIDAPNPETEEXESEAAJADNICSRRSAR
.Escriu les instruccions necessàries per a desxifrar el missatge.
Primer comptes el nombre de caràcter que té el missatge que vols xifrar, després busques un nombre que siga divisor del nombre de caràcters que té el missatge ja que han de cabre a les columnes i que no sobre cap (per exemple, si el missatge que vols xifrar té 24 lletres ho pots fer en clau 4 en clau 2 en clau 6… ja que són divisors de 24 i cap lletra es quedaría fora).
Després has de posar el missatge en columnes i a cada columna ha d’haver el nombre de caràcters corresponent amb el nombre de la clau. Per exemple, si vols xifrar el missatge en clau 3, a cada columna ha d’haver 3 lletres posades verticalment sense comptar els espais que hi ha entre cada paraula.
Després per a vore com seria el teu missatge xifrat sols has de llegir les lletres en horitzontal de filera en filera i anotar-lo.
Si algú coneix aquesta codificació per transposició sols has de dir-li la clau per a que puga desxifrar el teu missatge.
Per exemple:
Vull xifrar el missatge: JO ESTIC MOLT FELIÇ, i com que té 16 caràcters el vaig a fer en clau 8 (però el podria fer en clau 2, 4…).
Aquest missatge seria:
1 J O
2 O L
3 E T
4 S F
5 T E
6 I L
7 C I
8 M Ç
El meu missatge xifrat en clau 8 seria: JOOLETSFTEILCIMÇ
Criptografia:
La criotografia és la forma de convertir una informació cap a un codi que siga impossible de llegir menys per als que coneguen aquesta tècnica.
N’hi ha molts tipus de codis però jo vaig a parlar del Codi Cèsar:
El codi de Cèsar és una de le tècniques de xifratge més senzilles i més conegudes. És un tipus de xifratge per substitució en el qual cada lletra del se substitueix per una altra lletra que estigui un determinat nombre de posicions desplaçada a l'alfabet.
Per exemple, si vull xifrar un missatge en clau 4, (és a dir: A és E, B és F, C és G...) seria:
Matemàtiques= QEXIQEXMUIW (M=Q, A=E, T=X...)
Si volem fer-ho en clau 8 tindríem que desplaçar o substituir cada lletra del missatge que volem xifrar per una altra que estigué 8 posicions més endavant.
Aquesta seria la criptografia de Cèsar en clau 3:
Problema 4.4 pàgina 19:
Codis de transposició:
Un codi és de transposició si canvia l’odre de les lletres del missatge original. Vegem un exemple senzill.
Per a codificar per transposició de clau 4 el missatge QUEDEM EN EIXIR DE CLASSE PER ANAR A PASSEJAR, hem d’escriure el text en columnas (verticalment) amb 4 files (les lletres del final són per a completar)
1 Q E E R L E A A S R
2 U M I D A P N P E T
3 E E X E S E A A J A
4 D N I C S R R S A R
Es llegiria: QEERLEAASRUMIDAPNPETEEXESEAAJADNICSRRSAR
.Escriu les instruccions necessàries per a desxifrar el missatge.
Primer comptes el nombre de caràcter que té el missatge que vols xifrar, després busques un nombre que siga divisor del nombre de caràcters que té el missatge ja que han de cabre a les columnes i que no sobre cap (per exemple, si el missatge que vols xifrar té 24 lletres ho pots fer en clau 4 en clau 2 en clau 6… ja que són divisors de 24 i cap lletra es quedaría fora).
Després has de posar el missatge en columnes i a cada columna ha d’haver el nombre de caràcters corresponent amb el nombre de la clau. Per exemple, si vols xifrar el missatge en clau 3, a cada columna ha d’haver 3 lletres posades verticalment sense comptar els espais que hi ha entre cada paraula.
Després per a vore com seria el teu missatge xifrat sols has de llegir les lletres en horitzontal de filera en filera i anotar-lo.
Si algú coneix aquesta codificació per transposició sols has de dir-li la clau per a que puga desxifrar el teu missatge.
Per exemple:
Vull xifrar el missatge: JO ESTIC MOLT FELIÇ, i com que té 16 caràcters el vaig a fer en clau 8 (però el podria fer en clau 2, 4…).
Aquest missatge seria:
1 J O
2 O L
3 E T
4 S F
5 T E
6 I L
7 C I
8 M Ç
El meu missatge xifrat en clau 8 seria: JOOLETSFTEILCIMÇ
viernes, 7 de octubre de 2011
Sistema de numeració maia.
He decidit fer aquesta entrada sobre el sistema de numeració maia, un dels més antics i famosos, ja que Pascual, el nostre mestre, ens ho ha demanat. És interesant i a més fàcil d'entendre i aprendre.
Sistema de numeració maia:
En el sistema de numeración maia, Els nombres fins al 19, estàn constituis per tres símbols: el 0, és com una cloaca, l’1 és un punt i el 5 una barra.
ls maies van idear un sistema de base 20 amb el 5 com a base auxiliar:
E
El punt no es repeteix més de 4 voltes, si arriba al 5, es substitueix per una barra. Per escriure un nombre més gran que 20, s’utilitzen el mateixos símbols, però canvia el seu valor depenent de la posició en la qual estiguen.
El zero:
La civilització maia va ser la primera d’Amèrica en idear el zero. Aquest era necessari per a la seua numeració perquè els maies hi tenien un sistema posicional, és a dir, un sistema de numeració en que cada símbol té un valor diferent segons la posició que hi ocupe.
Sumar i restar:
Sumar i restar nombres utilitzant la numeració maia és senzill.
La suma es realitza mitjançant la combinació dels símbols numèrics en cada nivell.
Si obtenim cinc o més punts de la combinació, cinc punts son reemplaçats per una barra. Si s'obtenen quatre o més barres, quatre barres han de ser reemplaçades per un punt afegit a la propera columna.
Per exemple:
Sistema de numeració maia:
En el sistema de numeración maia, Els nombres fins al 19, estàn constituis per tres símbols: el 0, és com una cloaca, l’1 és un punt i el 5 una barra.
ls maies van idear un sistema de base 20 amb el 5 com a base auxiliar:
E
El punt no es repeteix més de 4 voltes, si arriba al 5, es substitueix per una barra. Per escriure un nombre més gran que 20, s’utilitzen el mateixos símbols, però canvia el seu valor depenent de la posició en la qual estiguen.
El zero:
La civilització maia va ser la primera d’Amèrica en idear el zero. Aquest era necessari per a la seua numeració perquè els maies hi tenien un sistema posicional, és a dir, un sistema de numeració en que cada símbol té un valor diferent segons la posició que hi ocupe.
Sumar i restar:
Sumar i restar nombres utilitzant la numeració maia és senzill.
La suma es realitza mitjançant la combinació dels símbols numèrics en cada nivell.
Si obtenim cinc o més punts de la combinació, cinc punts son reemplaçats per una barra. Si s'obtenen quatre o més barres, quatre barres han de ser reemplaçades per un punt afegit a la propera columna.
Per exemple:
viernes, 30 de septiembre de 2011
Els números feliços
Els nombres feliços són aquells que al elevar cadascuna de les seues xifres al cuadrat i sumar-ne els resultats i amb la suma dels resultats, repetir aquest mateix procés succesivament fins que algun resultat done 1.Si apareix 1 com a resultat al fer aquest procés vol dir que el nombre inicial és feliç. Si un resultat es repeteix altra volta en la mateixa serie, vol dir que no és un nombre feliç. Després de fer aquets processos amb alguns nombres per comprovar si eren feliços, he tret algunes conclusions:
.Tots els nombres que tenen la posibilitat de ser feliços han de ser enters i positius.
.Dona igual l'ordre dels factors, si 23 és feliç, 32 també serà feliç,ja que l'ordre dels factors no altera el producte, és una propietat comunicativa.
.Per exemple si 32 és feliç, 302 també serà feliç, ja que el nombre 0 multiplicat o elevat a qualsevol nombre, donarà 0, per tant no sumem res al resultat de 3 elevat al quadrat + dos elevat al quadrat, i això vol dir que 302 també serà feliç, com el 32.
.Si a un nombre feliç li sumem zeros, continuarà sent feliç ja que no sàlterarà res en la suma dels seus dígits elevats al quadrat.
.Tots els nombres que tenen la posibilitat de ser feliços han de ser enters i positius.
.Dona igual l'ordre dels factors, si 23 és feliç, 32 també serà feliç,ja que l'ordre dels factors no altera el producte, és una propietat comunicativa.
.Per exemple si 32 és feliç, 302 també serà feliç, ja que el nombre 0 multiplicat o elevat a qualsevol nombre, donarà 0, per tant no sumem res al resultat de 3 elevat al quadrat + dos elevat al quadrat, i això vol dir que 302 també serà feliç, com el 32.
.Si a un nombre feliç li sumem zeros, continuarà sent feliç ja que no sàlterarà res en la suma dels seus dígits elevats al quadrat.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)